INTRODUCCIÓN
Todos hemos visto a lo largo de nuestra vida lo que son las operaciones matemáticas, nos explican siempre una y otra vez el mismo ejercicio, hasta que llega el punto en el que nos preguntamos ¿Para qué sirve? Aunque no lo crean, todo lo que nos enseñan en nuestras clases de matemáticas tiene un sentido, ya sea concreto o para potenciar nuestro cerebro al pensamiento rápido ¿Ves esos grandes edificios y puentes con los que te topas diariamente? ¡FUERON POSIBLES GRACIAS A LAS MATEMÁTICAS! ese es uno de los tantos ejemplos con los cuales las matemáticas han hecho más fácil nuestra vida diaria. En este caso trataremos los temas de potenciación y factorización.
La potencia es una operación matemática entre dos términos llamados base y exponente y consiste en multiplicar la base por si mismo las veces que el exponente indique, por ejemplo 23=2x2x2=8.
Para multiplicar números por si mismos de debe prestar mucha atención a la cantidad de veces que debemos multiplicarlos , además de tener en cuenta la ley de signos para los números negativos, es importante el tema y sus formas de explicar las propiedades para hacer más fácil las operaciones con números elevados a x potencia.
La importancia de adquirir habilidades y destrezas para operar potenciaciones, es que permite simplificar o minimizar una expresión numérica grande, gracias a la potenciación se hace más fácil hallar las cifras exactas de números.
La factorización, por su parte, es la base del algebra y el cálculo, a través de su uso aprendemos a simplificar o convertir en factores una expresión algebraica, de esta forma son más fáciles de manejar y operar, factorizar es la operación opuesta a la multiplicación, factorizar una expresión significa escribirla como un producto de otras expresiones. Un ejemplo puntual en la utilidad que tiene la factorización: La caída libre de objetos cerca de la superficie terrestre (lanzamiento de cohetes al espacio, por ejemplo) se representa matemáticamente mediante una función cuadrática (segundo orden) que a su vez se puede tratar por medio del TCP. En general, una función cuadrática es una curva cónica (parábola, elipse, hipérbola, circunferencia) que tiene miles de aplicaciones importantes para el ser humano; diseño de antenas parabólica, estudio de órbitas de cuerpos celestes, crecimiento poblacional, diseño de móviles, etc., etc., etc. Y todo estudio de las cónicas amerita aplicar la herramienta denominada TCP (Trinomio Cuadrado Perfecto) para hacer más fáciles los cálculos inmersos en los problemas de contexto. En pocas palabras el TCP es una herramienta matemática muy útil para hacer ciencia y a diario nos beneficiamos de lo que ha sido creado a partir de ello.
OBJETIVO
Al terminar el blog la persona será capaz de definir los conceptos de potenciación y factorización resolviendo ejercicios o problemas de matemáticas en los cuales podamos utilizar cualquiera de los casos de factores sin ningún tipo de problema.
Referencias:
http://matematicasnuevoleon.blogspot.com/2015/10/para-que-sirve-en-trinomio-cuadrado.html
LA POTENCIACIÓN Y SUS PROPIEDADES
Términos importantes:
Potenciación: Es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe a n y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n.
Base: de una potencia es el número que se multiplica a sí mismo repetidamente.
Exponente: Muestra cuantas veces el número se va a utilizar en la multiplicación.
Una potencia es un producto de factores que se repiten un número determinado de veces. El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente. Las potencias nos permiten expresar de forma abreviada ciertas multiplicaciones, pero, ¿es eso todo? Si tuviésemos que hacer operaciones con ellas, lo ideal sería no tener que calcularlas previamente, sino partir de varias potencias operadas entre sí y llegar a otra potencia que sea el resultado final, sin necesidad de recurrir a las operaciones "normales" con enteros.
Pues bien, gracias a la propia definición de las potencias, podremos hacer ciertas operaciones entre ellas con mucha facilidad. Se pueden presentar las siguientes situaciones representadas en este cuadro:
Referencias:
https://es.scribd.com/doc/51091459/libro-matematicas-santillana-potenciacion
https://www.academiajaf.com/como/aprender/matematicas/matematicas-eso/154-matematicas-eso-aritmetica-potencias-propiedades-operaciones/253-propiedades-de-las-potencias
Potenciación: Es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe a n y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n.
Base: de una potencia es el número que se multiplica a sí mismo repetidamente.
Exponente: Muestra cuantas veces el número se va a utilizar en la multiplicación.
Una potencia es un producto de factores que se repiten un número determinado de veces. El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente. Las potencias nos permiten expresar de forma abreviada ciertas multiplicaciones, pero, ¿es eso todo? Si tuviésemos que hacer operaciones con ellas, lo ideal sería no tener que calcularlas previamente, sino partir de varias potencias operadas entre sí y llegar a otra potencia que sea el resultado final, sin necesidad de recurrir a las operaciones "normales" con enteros.
Pues bien, gracias a la propia definición de las potencias, podremos hacer ciertas operaciones entre ellas con mucha facilidad. Se pueden presentar las siguientes situaciones representadas en este cuadro:
Referencias:
https://es.scribd.com/doc/51091459/libro-matematicas-santillana-potenciacion
https://www.academiajaf.com/como/aprender/matematicas/matematicas-eso/154-matematicas-eso-aritmetica-potencias-propiedades-operaciones/253-propiedades-de-las-potencias
(VIDEO) CASOS DE POTENCIACIÓN
¡PON A PRUEBA TUS CONOCIMIENTOS SOBRE POTENCIACIÓN!
Este juego te ayudará a poner en práctica lo aprendido en el tema de potenciación. ¡Comentanos si lo has logrado!
LA FACTORIZACIÓN
Términos importantes:
Para entender la factorización, vamos a definir los conceptos y mostrar ejemplos para después elaborar operaciones más avanzadas:
Factor: cada uno de los números que se multiplican para formar un producto, podemos decir que es la operación opuesta a la multiplicación.
Un monomio (mono = uno): es una expresión algebráica con un solo término.
3x
Un binomio (bi = dos): es una expresión algebráica con dos términos separados por los signos de suma o resta.
3x + 6y
Un trinomio (tri = tres): es una expresión algebráica con tres términos separados por los signos de suma o resta.
3x + 6y - 15/x
Un polinomio (poli = muchos, al igual que multi): es un multinomio en el que todos los términos son enteros y racionales.
Referencias:
https://definicionyque.es/factorizacion/
FACTOR COMÚN
Cuando un número entero divide exactamente a dos o más números dados sin dejar un residuo le llamamos “factor común”
Características
- Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios. - Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio.
- El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior
¿Cómo realizar la factorización?
- De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de ellos.
- De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente.
- Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada término.
Ejemplo:
Referencias:
https://julioprofe.net/material-de-apoyo/algebra/Resumen-de-los-principales-casos-de-factorizacion%2C-con%20teoria-y-ejemplos.pdf
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Características:
- Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (caso 1).
¿Cómo realizar la factorización?
- Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes).
- La agrupación se hace colocando paréntesis. - ¡CUIDADO! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda precedido por signo negativo.
- Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis).
- Por último, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, nuevamente se aplica el caso 1; en esta ocasión, el factor común es una expresión encerrada en paréntesis).
Ejemplos:
Referencias:
https://julioprofe.net/material-de-apoyo/algebra/Resumen-de-los-principales-casos-de-factorizacion%2C-con%20teoria-y-ejemplos.pdf
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo.
Características:
- El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).
- Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta).
¿Cómo realizar la factorización?
- Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Para ello extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término.
- Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y comparamos con el segundo término (sin fijarnos en el signo de éste). Si efectivamente nos da, entonces tenemos un TCP.
- La factorización de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término.
Ejemplos:
Referencias:
https://julioprofe.net/material-de-apoyo/algebra/Resumen-de-los-principales-casos-de-factorizacion%2C-con%20teoria-y-ejemplos.pdf
TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA 𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝐜
Se identifica por tener tres términos, hay una lateral con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Características:
- El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
- El coeficiente del primer término debe ser uno (1).
- El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.
¿Cómo realizar la factorización?
- Se abren dos grupos de paréntesis.
- Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.
- Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término.
- Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).
- Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos.
Ejemplos:
Referencias:
https://julioprofe.net/material-de-apoyo/algebra/Resumen-de-los-principales-casos-de-factorizacion%2C-con%20teoria-y-ejemplos.pdfTRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA a𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝐜
En este caso se tienen 3 términos: el primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea, sin una parte literal.
Características:
- El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
- El coeficiente principal (es decir, del primer término) debe ser positivo y diferente de uno (a≠1).
- El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.
¿Cómo realizar la factorización?
- Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal, es decir, a.
- En el numerador efectuamos la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo término el producto no se realiza sino que se deja expresado: la cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un paréntesis y el coeficiente original queda por fuera.
- Se expresa el primer término como el cuadrado de lo que quedó en paréntesis en el segundo término.
- Aplicamos caso 5 (Trinomio de la forma x2n+bxn +c) en el numerador.
- Aplicamos caso 1 (Factor común) en los paréntesis formados.
- Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminar el denominador).
Ejemplo:
Referencias: https://julioprofe.net/material-de-apoyo/algebra/Resumen-de-los-principales-casos-de-factorizacion%2C-con%20teoria-y-ejemplos.pdf
(VIDEOS) CASOS DE FACTORIZACIÓN
Te presentamos 5 videos de uno de los mejores canales de youtube (matchme) donde aprenderás a factorizar los 5 principales casos:
1. FACTOR COMÚN.
2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.
3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
4. TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c.
5. TRINOMIO DE LA FORMA ax²+bx+c.
¡PON A PRUEBA TUS CONOCIMIENTOS! FACTORIZACIÓN
No queremos que te vayas de este blog sin antes haber puesto a prueba tus conocimientos, asi que ¡Hagamoslo! ¡Cuentanos en los comentarios que tal te fue!
